Question

【题目】已知一列非零向量满足:(其中是非零常数).

(1)求数列的通项公式；

(2)求向量与夹角的弧度数

(3)当时,把中所有与共线的向量按原来的顺序排成一列,记为令为坐标原点,求点列的极限点D的坐标.(注:若点坐标为且则称点D为点列的极限点).

Answer 1

【答案】(1) ；(2) 当时，；当时，； (3) .

【解析】

(1)根据向量模长公式可得数列的递推关系式，结合等比数列的定义可求；

(2)先求解，结合向量的夹角公式可得夹角；

(3)先根据题意求解数列的通项公式，从而可得，结合极限知识可求解极限点D的坐标.

(1)因为，

所以

.

所以，即为等比数列.

因为，所以，所以.

(2) ,

所以；

当时，；当时，.

(3)由(2)知时，，所以每隔3个向量的两个向量必共线，且方向相反，

所以与共线的向量为，

设的单位向量为，则，

所以，

所以，，

同理可求，故点列的极限点D的坐标为.