Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，侧棱底面，垂直于和，为棱上的点，.

（1）若为棱的中点，求证：平面；

（2）当时，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）取线段的中点，连结，，推导出四边形为平行四边形，从而，由此能证明平面．

（2）以为坐标原点，建立分别以，，所在直线为轴，轴，轴的空间直角坐标系，利用向量法能求出平面与平面所成的锐二面角的余弦值．

（1）证明：取线段的中点，连接.

在中，为中位线

∴且，

∵且，

∴且

∴四边形为平行四边形.

∴.

∵平面平面，

∴平面.

（2）解：如图所示以点为坐标原点，建立分别以、、所在的直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则，

于是

设平面的一个法向量为，则，

将坐标代入并取，得.

另外易知平面的一个法向量为，

所以平面与平面所成的锐二面角的余弦为.