Question

1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b=$\sqrt{3}$，cosAsinB+（c-sinA）cos（A+C）=0．
（1）求角B的大小；
（2）若△ABC的面积为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，求sinA+sinC的值．

Answer 1

分析 （1）利用两角和与差的三角函数以及三角形的内角和，转化求解B的正切函数值，即可得到结果．
（2）利用三角形的面积求出ac，利用余弦定理求出a+c，利用正弦定理求解即可．

解答 解：（1）由cosAsinB+（c-sinA）cos（A+C）=0，
得cosAsinB-（c-sinA）cosB=0，
即sib（A+B）=ccosB，sinC=ccosB，$\frac{sinC}{c}=cosB$，
因为$\frac{sinC}{c}=\frac{sinB}{b}$，所以$\frac{sinB}{\sqrt{3}}=cosB$，则tanB=$\sqrt{3}$，B=$\frac{π}{3}$．
（2）由$S=\frac{1}{2}acsinB=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，得ac=2，…（6分）
由$b=\sqrt{3}$及余弦定理得${（{\sqrt{3}}）^2}={a^2}+{c^2}-2accosB={a^2}+{c^2}-ac={（{a+c}）^2}-3ac$，…（8分）
所以a+c=3，所以$sinA+sinC=\frac{sinB}{b}（{a+c}）=\frac{3}{2}$…（10分）

点评 本题考查正弦定理以及余弦定理，两角和与差的三角函数，考查转化思想以及计算能力．