Question

10．已知点A、B、C、D在同一球面上，AB=BC=$\sqrt{2}$，AC=2，DB⊥平面ABC，四面体ABCD的体积为$\frac{2}{3}$，则这个球的体积为（　　）

• A． 8π
• B． $\frac{8\sqrt{2}π}{3}$
• C． 16π
• D． $\frac{32π}{3}$

Answer 1

分析 将四面体扩充为长方体，体对角线为$\sqrt{2+2+4}$=2$\sqrt{2}$，求出球的半径，即可求出球的体积．

解答 解：根据题意知，△ABC是一个直角三角形，其面积为1．
∵DB⊥平面ABC，四面体ABCD的体积为$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{1}{3}×1×DB$=$\frac{2}{3}$，
∴DB=2，
将四面体扩充为长方体，体对角线为$\sqrt{2+2+4}$=2$\sqrt{2}$，
∴球的半径R=$\sqrt{2}$
则这个球的体积为：S=$\frac{4}{3}$π（$\sqrt{2}$）³=$\frac{8\sqrt{2}}{3}π$．
故选B．

点评 本题考查的知识点是球内接多面体，球的体积，其中将四面体扩充为长方体，体对角线为$\sqrt{2+2+4}$=2$\sqrt{2}$是解答的关键．