Question

9．已知f（x）=lg$\frac{1+x}{1-x}$（-＜x，1）．
（I） 判断f（x）的奇偶性，并予以证明；
（Ⅱ）设f（$\frac{1}{2}$）+f（$\frac{1}{3}$）=f（x₀），求x₀的值．
（Ⅲ）求证：对于f（x）的定义域内的任意两个实数a，b，都有f（a）+f（b）=f（$\frac{a+b}{1+ab}$）．

Answer 1

分析 （I）利用奇偶性的定义，看f（-x）和f（x）的关系，注意到$\frac{1+x}{1-x}$和$\frac{1-x}{1+x}$互为倒数，其对数值互为相反数；也可计算f（-x）+f（x）=0得到结论．
（Ⅱ）根据题意得到关于x₀的方程，解方程可得x₀的值；
（Ⅲ）将a与b代入函数f（x）=lg$\frac{1+x}{1-x}$（-＜x，1）．求出f（a）+f（b）的值，然后计算出f（$\frac{a+b}{1+ab}$）的值，从而证得结论．

解答 解：（I）f（x）是奇函数，理由如下：
 f（x）的定义域为（-1，1）关于原点对称；
又∵f（-x）=lg$\frac{1+x}{1-x}$=-lg$\frac{1-x}{1+x}$=-f（x），
所以f（x）为奇函数；
（Ⅱ）∵f（x）=lg$\frac{1+x}{1-x}$（-1＜x＜1）．
∴由f（$\frac{1}{2}$）+f（$\frac{1}{3}$）=f（x₀）得到：lg$\frac{1+\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}$+lg$\frac{1+\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{3}}$=lg$\frac{1+{x}_{0}}{1-{x}_{0}}$，
整理，得
lg^3×2=lg$\frac{1+{x}_{0}}{1-{x}_{0}}$，
∴$\frac{1+{x}_{0}}{1-{x}_{0}}$=6，
解得x₀=$\frac{5}{7}$；
（Ⅲ）证明：∵f（x）=lg$\frac{1+x}{1-x}$（-＜x，1）．
∴f（a）+f（b）=lg$\frac{1+a}{1-a}$+lg$\frac{1+b}{1-b}$=lg$\frac{1+a}{1-a}$•$\frac{1+b}{1-b}$=lg$\frac{1+a+b+ab}{1-a-b+ab}$，
f（$\frac{a+b}{1+ab}$）=lg$\frac{1+\frac{a+b}{1+ab}}{1-\frac{a+b}{1+ab}}$=lg$\frac{1+a+b+ab}{1-a-b+ab}$，
∴对于f（x）的定义域内的任意两个实数a，b，都有f（a）+f（b）=f（$\frac{a+b}{1+ab}$）．
得证．

点评 本题考查对数函数的性质：定义域、奇偶性、单调性等知识，难度一般．