Question

已知是实数，函数，和，分别是的导函数，若在区间上恒成立，则称和在区间上单调性一致．
（Ⅰ）设，若函数和在区间上单调性一致，求实数的取值范围；
（Ⅱ）设且，若函数和在以为端点的开区间上单调性一致，求的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）.

试题分析：（Ⅰ）由不等式恒成立，即可求出结果. （Ⅱ）在以为端点的开区间上恒成立，对的大小分类讨论，以确定的取值范围，从而去确定的最大值.
试题解析：由已知，，，；
（Ⅰ）由题设“单调性一致”定义知，在区间上恒成立，
即 在区间上恒成立，
因，所以，所以，在区间上恒成立，
即在区间上恒成立，而在上最大值
所以，，即；
（Ⅱ）由“单调性一致”定义知，在以为端点的开区间上恒成立，
即在以为端点的开区间上恒成立，
因，所以，由，得，，；
①若，则开区间为，取，由知，和在区间上单调性不一致，不符合题设；
②若，因均为非负，故不在以为端点的开区间内；所以，只有可能在区间上；
由在以为端点的区间上恒成立，知要么不小于中的大者，要么不大于中的小者；
因为都不大于0，所以，，所以，由知，所以；
当时，由在区间上恒成立，即在区间上恒成立，知最大值为，而由解得；
此时，，配方后知，取不到最大值；
当时，显然，此时，当，即时，取得最大值；综上，的最大值为.