Question

设等差数列前n 项和为S_n，若Sm=

m

n

，Sn=

n

m

(m，n∈N* 且m≠n），则S_m+n 与4 的大小关系是（　　）

• A、S_m+n＞4
• B、S_m+n=4
• C、S_m+n＜4
• D、与m，n的取值有关

Answer 1

分析：分别利用等差数列的前n项和的公式表示出Sn，Sm及Sm+n，然后将Sn=nm和Sm=mn的值代入Sm+n，化简后，根据m，n为正整数且m不等于n，取最小m=1，n=2，求出此时公差d的值，即可得到Sm+n的最小值，求出的最小值大于4，得到正确答案．

解答：解：设等差数列的公差为d，
sn=

(a1+an)•n

2

=

n•(2a1+(n-1)d)

2

=

n

m

，，
同理sm=

m•[2a1+(m-1)d]

2

=

m

n

，
sm+n= 

(m+n)(2a1+(m+n-1)d)

2

=

m[2a1+(m+n-1)d]

2

+

n[2a1+(m+n-1)d]

2

    
=

n[2a1+(n-1)d]

2

+

m[2a1+(m-1)d]

2

+mnd
=

n

m

+

m

n

+mnd，
因为m，n为正整数，且m≠n，令n＞m，m=1，n=2，
将m=1，n=2代入Sn中得到2a₁+d=2；代入Sm中得到a1=

1

2

，
解得d=1，
则Sm+n＞2+

1

2

+2＞4．排除B、C、D．
故选A．

点评：此题考查学生灵活运用等差数列的前n项和的公式化简求值，是一道中档题．