Question

1．某种产品的产量以其质量指标值（单位：克）衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于17时，该产品为优等品，现在为了解甲、乙两厂产品的质量，从两厂生产的产品中分别随机抽取10件样品，测量样品的质量指标值，得到如图所示的茎叶图．
（1）试用上述样本数据估计甲、乙两厂产品的优等品率．
（2）从甲厂10件样品中抽取2件，乙厂10件中抽取1件，将3件中优等品的件数记为x，求x的分布列和数学期望；
（3）从甲厂的10件样品中有放回地随机抽取3件（每件抽取一件），也从乙厂的10件样品中有放回地随机抽取3件（每次抽取一件），求抽到的优等品甲厂恰比乙厂多2件的概率．

Answer 1

分析 （1）甲厂抽取的样本中优等品有6件，乙厂抽取的样本中优等品率有5件，由此能求出甲、乙两厂产品的优等品率．
（2）由题意知X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．
（3）抽到的优等品甲厂恰比乙厂多2件的概率，包括A、B两个基本事件，其中事件A=“甲厂抽到2件优等品，乙厂没有抽到优等品”，事件B=“甲厂抽到3件优等品，乙厂抽到1件优等品”，由此能求出抽到的优等品甲厂恰比乙厂多2件的概率．

解答 解：（1）甲厂抽取的样本中优等品有6件，
∴甲厂产品的优等品率为$\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$，
乙厂抽取的样本中优等品率有5件，
∴乙厂产品的优等品率为$\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$．
（2）由题意知X的可能取值为0，1，2，3，
P（X=0）=$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{10}^{2}}•\frac{{C}_{5}^{1}}{{C}_{10}^{1}}$=$\frac{1}{15}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{6}^{1}{C}_{4}^{1}}{{C}_{10}^{2}}•\frac{{C}_{5}^{1}}{{C}_{10}^{1}}$+$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{10}^{2}}•\frac{{C}_{5}^{1}}{{C}_{10}^{1}}$=$\frac{1}{3}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{6}^{2}}{{C}_{10}^{2}}•\frac{{C}_{5}^{1}}{{C}_{10}^{1}}$+$\frac{{C}_{6}^{1}{C}_{4}^{1}}{{C}_{10}^{2}}$•$\frac{{C}_{5}^{1}}{{C}_{10}^{1}}$=$\frac{13}{30}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{6}^{2}}{{C}_{10}^{2}}•\frac{{C}_{5}^{1}}{{C}_{10}^{1}}$=$\frac{1}{6}$．
∴X的分布列为：

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{15}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{13}{30}$	$\frac{1}{6}$

E（X）=$0×\frac{1}{15}+1×\frac{1}{3}+2×\frac{13}{30}+3×\frac{1}{6}$=$\frac{17}{10}$．
（3）抽到的优等品甲厂恰比乙厂多2件的概率，包括A、B两个基本事件，
其中事件A=“甲厂抽到2件优等品，乙厂没有抽到优等品”，
事件B=“甲厂抽到3件优等品，乙厂抽到1件优等品”，
P（A）=${C}_{3}^{2}（\frac{3}{5}）^{2}（\frac{2}{5}）$×${C}_{3}^{3}（\frac{1}{2}）^{3}$=$\frac{54}{1000}$，
P（B）=${C}_{3}^{3}（\frac{3}{5}）^{3}×{C}_{3}^{1}（\frac{1}{2}）（\frac{1}{2}）^{2}$=$\frac{81}{1000}$，
∴抽到的优等品甲厂恰比乙厂多2件的概率为：
p=P（A）+P（B）=$\frac{54}{1000}+\frac{81}{1000}$=$\frac{27}{200}$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式的合理运用．