Question

设{a_n}是首项为1，公差为d的等差数列，b_n=anqn，其中q∈R，且q≠0．
（1）试研究：{b_n}（n∈N^*）是否为等比数列？请说明理由；
（2）请类比等比数列前n项和公式的推导过程，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由等差数列的通项公式得a_n=1+（n-1）d，从而得到

bn+1

bn

=

(1+nd)qn+1

[1+(n-1)d]qn

=

1+nd

1+(n-1)d

q，由此求出d=0时，{b_n}（n∈N^*）是等比数列；d≠0时，{b_n}（n∈N^*）不是等比数列．
（2）由b_n=anqn=[1+（n-1）d]qⁿ，利用错位相减法能求出数列{b_n}的前n项和S_n．

解答： 解：（1）∵{a_n}是首项为1，公差为d的等差数列，
∴a_n=1+（n-1）d，
∴b_n=anqn=[1+（n-1）d]qⁿ，
∴

bn+1

bn

=

(1+nd)qn+1

[1+(n-1)d]qn

=

1+nd

1+(n-1)d

q，
∴d=0时，{b_n}（n∈N^*）是等比数列；
d≠0时，{b_n}（n∈N^*）不是等比数列．
（2）∵b_n=anqn=[1+（n-1）d]qⁿ，
∴S_n=q+（1+d）q²+（1+2d）q³+…+[1+（n-1）d]qⁿ，①
∴qS_n=q²+（1+d）q³+（1+2d）q⁴+…+[1+（n-1）d]qn+1 ，②
①-②，得：（1-q）S_n=q+dq²+dq³+dq⁴+…+dqⁿ-[1+（n-1）d]qn+1 
=q+d×

q2(1-qn-1)

1-q

-[1+（n-1）d]qn+1 ，
∴Sn =+

q2(1-qn-1)

(1-q)2

d-

[1+(n-1)d]qn+1

1-q

．

点评：本题考查等比数列的判断，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减求和法的合理运用．