Question

11．设-1＜p＜1，f（x）=log_a$\frac{1+2x}{1-2x}$+log_a$\frac{1-2x}{2x-p}$（其中a＞0，且a≠1）
（1）求f（x）的定义域；
（2）求证：函数f（x）无零点．

Answer 1

分析 （1）根据对数函数的真数大于0，列出不等式组求出解集即可；
（2）用反证法容易证明函数f（x）无零点．

解答 解：（1）∵-1＜p＜1，∴-$\frac{1}{2}$＜$\frac{p}{2}$＜$\frac{1}{2}$；
又f（x）=log_a$\frac{1+2x}{1-2x}$+log_a$\frac{1-2x}{2x-p}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1+2x}{1-2x}＞0}\\{\frac{1-2x}{2x-p}＞0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}＜x＜\frac{1}{2}}\\{\frac{p}{2}＜x＜\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
即$\frac{p}{2}$＜x＜$\frac{1}{2}$，
∴函数f（x）的定义域是（$\frac{p}{2}$，$\frac{1}{2}$）；
（2）证明：∵f（x）=log_a$\frac{1+2x}{1-2x}$+log_a$\frac{1-2x}{2x-p}$=log_a$\frac{1+2x}{2x-p}$（其中a＞0，且a≠1）；
假设函数f（x）有零点，则$\frac{1+2x}{2x-p}$=1，
解得p=-1，这与-1＜p＜1矛盾，
∴假设不成立，即函数f（x）无零点．

点评 本题考查了对数函数的图象与性质的应用问题，也考查了函数的零点与反证法的应用问题，是基础题目．