Question

19．已知椭圆M：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右顶点分别为A（-2，0），B（2，0），离心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（1）求椭圆M的方程；
（2）若F₁，F₂是椭圆M的左，右焦点，以线段F₁F₂为直径作圆N，点C（C点不同于F₁，F₂，且不在y轴上）为圆N上任一点，直线F₁C与直线x=$\sqrt{3}$交于点R，D为线段RF₂的中点，试判断直线CD与圆N的位置关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）由题意可得a=2，运用离心率公式可得c，由a，b，c的关系可得b=1，进而得到椭圆方程；
（2）求出焦点坐标，求得圆N的半径，可得圆的方程，求出直线CD的斜率，以及直线OC的斜率，证明它们互为负倒数，即可得证．

解答 解：（1）由题意可得a=2，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，所以c=$\sqrt{3}$，从而b²=a²-c²=1．
所以椭圆M方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（2）椭圆M的焦点为F₁（-$\sqrt{3}$，0），F₂（$\sqrt{3}$，0），
圆N的圆心在原点，半径为r=$\sqrt{3}$，
所以圆N的方程为x²+y²=3．
设C（m，n）（m≠0，n≠0），点R的坐标为（$\sqrt{3}$，t），
因为F₁、C、R三点共线，所以$\overrightarrow{{F}_{1}C}$∥$\overrightarrow{{F}_{1}R}$，而$\overrightarrow{{F}_{1}C}$=（m+$\sqrt{3}$，n），$\overrightarrow{{F}_{1}R}$=（2$\sqrt{3}$，t），
所以2$\sqrt{3}$n=t（m+$\sqrt{3}$），即t=$\frac{2\sqrt{3}n}{m+\sqrt{3}}$，
所以点R的坐标为（$\sqrt{3}$，$\frac{2\sqrt{3}n}{m+\sqrt{3}}$），点D的坐标为（$\sqrt{3}$，$\frac{\sqrt{3}n}{m+\sqrt{3}}$），
所以直线CD的斜率为k=$\frac{n-\frac{\sqrt{3}n}{m+\sqrt{3}}}{m-\sqrt{3}}$=$\frac{（m+\sqrt{3}）n-\sqrt{3}n}{{m}^{2}-3}$=$\frac{mn}{{m}^{2}-3}$．
因为m²+n²=3，所以m²-3=-n²，所以k=$\frac{mn}{-{n}^{2}}$=-$\frac{m}{n}$，
又直线OC（O为坐标原点）的斜率为k_OC=$\frac{n}{m}$，
所以k_OC•k=-1，所以直线CD⊥OC．
所以直线CD与圆N相切．

点评 本题考查椭圆方程的求法，注意运用离心率公式，考查直线与圆的位置关系的判断，注意运用直线的斜率公式，考查运算能力，属于中档题．