Question

17．已知F₁、F₂是椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{m}^{2}-1}$=1（m＞1）的左、右焦点，设椭圆E的离心率为e，若在椭圆E上存在点P使得|PF₁|²+|PF₂|²=4m，则e+$\frac{1}{e}$的取值范围为（　　）

• A． （2，5]
• B． （$\frac{5}{2}$，3]
• C． （2，$\frac{5}{2}$]
• D． （2，$\frac{5}{2}$）

Answer 1

分析 利用在椭圆E上存在点P使得|PF₁|²+|PF₂|²=4m，结合椭圆的定义，求出e的范围，即可求出e+$\frac{1}{e}$的取值范围．

解答 解：设点P的横坐标为x，e=$\frac{1}{m}$
∵|PF₁|²+|PF₂|²=4m，
∴由椭圆的定义可得（ex+m）²+（ex-m）²=4m，
∴e²x²=2m-m²，
∵0≤x²≤m²，
∴0≤2m-m²≤1，
∴0≤m≤2，
∵m＞1，e=$\frac{1}{m}$
∴$\frac{1}{2}$≤e＜1，
此时e+$\frac{1}{e}$单调递减，∴2＜e+$\frac{1}{e}$≤$\frac{5}{2}$．
故选：C．

点评 本题考查椭圆的定义，以及简单性质的应用，由椭圆的定义可得$\frac{1}{2}$≤e＜1是解题的关键．