Question

11．已知函数f（x）=（2a+2）lnx+2ax²+5．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）设a＜-1，若对任意不相等的正数x₁，x₂，恒有|$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$|≥8，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求函数f（x）的定义域，再求导f′（x）=$\frac{2a+2}{x}$+4ax=$\frac{2（2a{x}^{2}+a+1）}{x}$，从而讨论a以确定导数的正负，从而确定函数的单调性；
（2）不妨设x₁＜x₂，而a＜-1，由（1）知f（x）在（0，+∞）单调递减，从而化恒成立为f（x₁）+8x₁≥f（x₂）+8x₂，再令g（x）=f（x）+8x，求导g′（x）=$\frac{2a+2}{x}$+4ax+8，从而化恒成立为g（x）在（0，+∞）单调递减，即$\frac{a+1}{x}$+2ax+4≤0，从而化为最值问题即可．

解答 解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），
f′（x）=$\frac{2a+2}{x}$+4ax=$\frac{2（2a{x}^{2}+a+1）}{x}$，
当a≥0时，f′（x）＞0，
故f（x）在（0，+∞）单调递增，
当a≤-1时，f′（x）＜0，
故f（x）在（0，+∞）单调递减；
当-1＜a＜0时，令f′（x）=0，解得x=$\sqrt{-\frac{a+1}{2a}}$．
即x∈（0，$\sqrt{-\frac{a+1}{2a}}$）时，f′（x）＞0；x∈（$\sqrt{-\frac{a+1}{2a}}$，+∞）时，f′（x）＜0；
故f（x）在（0，$\sqrt{-\frac{a+1}{2a}}$）单调递增，在（$\sqrt{-\frac{a+1}{2a}}$，+∞）单调递减；
（2）不妨设x₁＜x₂，而a＜-1，
由（1）知f（x）在（0，+∞）单调递减，
从而对任意x₁、x₂∈（0，+∞），
恒有|$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1-{x}_{2}}}$|≥8，
即|f（x₁）-fx₂|≥8|x₁-x₂|
f（x₁）-f（x₂）≥8（x₂-x₁）
f（x₁）+8x₁≥f（x₂）+8x₂
令g（x）=f（x）+8x，则g′（x）=$\frac{2a+2}{x}$+4ax+8
原不等式等价于g（x）在（0，+∞）单调递减，
即$\frac{a+1}{x}$+2ax+4≤0，
从而a≤$\frac{-4x-1}{2{x}^{2}+1}$=$\frac{（2x-1）^{2}}{2{x}^{2}+1}$-2，
故a的取值范围为（-∞，-2]．

点评 本题考查了导数的综合应用，同时考查了恒成立问题及分类讨论的数学思想的应用，属于难题．