Question

20．曲线x²-3y²=0与双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞0，b＞0）的四个交点与C的两个虚轴顶点构成一个正六边形，则双曲线的离心率是？

Answer 1

分析 化简曲线x²-3y²=0即为y=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，再将直线方程代入双曲线方程，可得第一、四象限的交点，求出它们的距离，由条件可得它们为b，再由a，b，c的关系和离心率公式计算即可得到．

解答 解：曲线x²-3y²=0即为y=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
将y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x代入双曲线方程可得，
交点A为（$\frac{\sqrt{3}ab}{\sqrt{3{b}^{2}-{a}^{2}}}$，$\frac{ab}{\sqrt{3{b}^{2}-{a}^{2}}}$），
将y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x代入双曲线方程可得，
交点B为（$\frac{\sqrt{3}ab}{\sqrt{3{b}^{2}-{a}^{2}}}$，-$\frac{ab}{\sqrt{3{b}^{2}-{a}^{2}}}$），
则|AB|=2•$\frac{ab}{\sqrt{3{b}^{2}-{a}^{2}}}$，
由题意可得b=|AB|，
即为5a²=3b²=3（c²-a²），
即有3c²=8a²，
则e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
故双曲线的离心率为$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查双曲线的方程和性质，主要考查离心率的求法，考查运算能力，属中档题．