题目内容
设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC=（2a-c）cosB．
（Ⅰ）求B的大小；
（Ⅱ）若b=
，则a+c的最大值．
（Ⅰ）求B的大小；
（Ⅱ）若b=
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考点：余弦定理,正弦定理
专题：解三角形
分析：（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，求出cosB的值，即可确定出B的度数；
（Ⅱ）利用余弦定理列出关系式，将b，cosB的值代入，并利用基本不等式求出a+c的最大值即可．
（Ⅱ）利用余弦定理列出关系式，将b，cosB的值代入，并利用基本不等式求出a+c的最大值即可．
解答：
解：（Ⅰ）将已知等式bcosC=（2a-c）cosB，
利用正弦定理得sinBcosC=（2sinA-sinC）cosB，
整理得：sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB，
∴sin（B+C）=2sinAcosB，
又sin（B+C）=sinA≠0，
∴cosB=
，
又0＜B＜π，
∴B=
；
（Ⅱ）∵b=
，cosB=
，
∴由余弦定理可知b2=a2+c2-2accosB，即3=a2+c2-ac=（a+c）2-3ac≥（a+c）2-3（
）2，即a+c≤2
，
当且仅当a=c=
时取等号，
则a+c的最大值为2
．
利用正弦定理得sinBcosC=（2sinA-sinC）cosB，
整理得：sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB，
∴sin（B+C）=2sinAcosB，
又sin（B+C）=sinA≠0，
∴cosB=
| 1 |
| 2 |
又0＜B＜π，
∴B=
| π |
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（Ⅱ）∵b=
| 3 |
| 1 |
| 2 |
∴由余弦定理可知b2=a2+c2-2accosB，即3=a2+c2-ac=（a+c）2-3ac≥（a+c）2-3（
| a+c |
| 2 |
| 3 |
当且仅当a=c=
| 3 |
则a+c的最大值为2
| 3 |
点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理是解本题的关键．
练习册系列答案
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与同一平面平行的两条直线（ ）
| A、平行 | B、相交 |
| C、异面 | D、平行或相交或异面 |