Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，a₂=2，a_n+2=（1+cos²

nπ

2

）•a_n+sin²

nπ

2

（n∈N^*），则该数列{a_n}的前n项和为

 

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：先利用题中条件找到数列的特点，即其奇数项构成了首项为1，公差为1的等差数列，而其偶数项则构成了首项为2，公比为2的等比数列，再对其和用分组求和的方法找到即可．

解答： 解：由题中条件知，a₁=1，a₂=2，a₃=a₁+1=2，a₄=2a₂+0=4，a₅=a₃+1=3，a₆=2a₄=8…
即其奇数项构成了首项为1，公差为1的等差数列，而其偶数项则构成了首项为2，公比为2的等比数列，
∴当n为奇数时，s_n=

n+1

2

×1+

n+1 2 ( n+1 2 -1)

2

×1+

2(1-2 n-1 2 )

1-2

=

(n+1)(n+3)

8

+2

n+1

2

-2，
当n为偶数时，s_n=

n

2

×1+

n 2 ( n 2 -1)

2

×1+

2(1-2 n 2 )

1-2

=

n(n+2)

8

+2

n+2

2

-2．
∴s_n=

(n+1)(n+3) 8 +2 n+1 2 -2 n为奇数 n(n+2) 8 +2 n+2 2 -2 n为偶数

．
故答案为：s_n=

(n+1)(n+3) 8 +2 n+1 2 -2 n为奇数 n(n+2) 8 +2 n+2 2 -2 n为偶数

．

点评：本题主要考查等差数列和等比数列的前n项和公式．考查学生的运算能力．