Question

20．已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与抛物线C的交点为Q，且|QF|=$\frac{5}{4}$|PQ|．已知椭圆E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的右焦点F₁与抛物线C的焦点重合，且离心率为$\frac{1}{2}$•
（1）求抛物线C和椭圆E的方程；
（2）若过椭圆E的左焦点F₂的直线l与椭圆交于A、B两点，求三角形OAB（O为坐标原点）的面积S_△OAB的最大值．

Answer 1

分析 （1）设Q（x₀，4），代入抛物线方程，结合抛物线的定义，可得p=2，进而得到抛物线方程；
（2）设直线l的方程为：x=ky-1，与椭圆方程联立，消x，整理得：（3k²+4）y²-6ky-9=0，求利用韦达定理，结合三角形的面积公式，化简整理，通过基本不等式求出最值．

解答 解：（1）设Q（x₀，4），代入由y²=2px（p＞0）中得x₀=$\frac{8}{p}$，
所以|PQ|=$\frac{8}{p}$，|QF|=$\frac{p}{2}$+$\frac{8}{p}$，
由题设得$\frac{p}{2}$+$\frac{8}{p}$=$\frac{5}{4}$×$\frac{8}{p}$，解得p=-2（舍去）或p=2．
所以C的方程为y²=4x；
∵椭圆E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的右焦点F₁与抛物线C的焦点重合，且离心率为$\frac{1}{2}$，
∴c=1，$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，
∴a=2，
∴b=$\sqrt{3}$，
∴椭圆E的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线l的方程为：x=ky-1，
与椭圆方程联立，消x，整理得：（3k²+4）y²-6ky-9=0，
∴y₁+y₂=$\frac{6k}{3{k}^{2}+4}$，y₁y₂=-$\frac{9}{3{k}^{2}+4}$，
∴S_△OAB=$\frac{1}{2}$×1×|y₁-y₂|=6$\sqrt{\frac{{k}^{2}+1}{（3{k}^{2}+4）^{2}}}$．
令k²+1=t（t≥1），S_△OAB=6$\sqrt{\frac{1}{9t+\frac{1}{t}+6}}$，
∵g（t）=9t+$\frac{1}{t}$在[1，+∞）上单调递增，
∴g（t）≥g（1）=10，
∴S_△OAB的最大值为10．

点评 本题主要考查抛物线的应用和抛物线定义，考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆方程的求法，基本不等式在最值中的应用，考查分析问题解决问题的能力以及计算能力．．