Question

8．设函数f（x）=sin（x+φ）（0＜φ＜$\frac{π}{2}$），y=f（x）图象的一条对称轴是直线x=$\frac{π}{4}$．
（1）求φ；
（2）求函数y=f（x）的单调增区间．

Answer 1

分析 （1）由题意可得f（0）=f （$\frac{π}{2}$），即tanφ=1，结合0＜φ＜$\frac{π}{2}$，可得φ的值．
（2）利用正弦函数的单调性，求得函数y=f（x）的单调增区间．

解答 解：（1）由题意得f（x）的图象的一条对称轴是直线x=$\frac{π}{4}$，
可得 f（0）=f （$\frac{π}{2}$），即sinφ=cosφ，即tanφ=1，又0＜φ＜$\frac{π}{2}$，∴φ=$\frac{π}{4}$．
（2）由（1）知f（x）=sin（x+$\frac{π}{4}$），由2kπ-$\frac{π}{2}$≤x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z），求得2kπ-$\frac{3}{4}$π≤x≤2kπ+$\frac{π}{4}$（k∈Z）．
∴函数f（x）的单调增区间为[2kπ-$\frac{3}{4}$π，2kπ+$\frac{π}{4}$]（k∈Z）．

点评 本题主要考查正弦函数的图象的对称性，正弦函数的单调性，属于基础题．