Question

【题目】已知函数，.

（1）讨论的单调性；

（2）若有两个极值点，，且，证明：.

Answer 1

【答案】(1) 见解析.

(2)证明见解析.

【解析】分析：(1)先求导数，再根据二次方程 =0根得情况分类讨论：当时，.∴在上单调递减. 当时，根据两根大小再分类讨论对应单调区间， (2)先化简不等式消m得，再利用导数研究，单调性，得其最小值大于-1，即证得结果.

详解：（1）由，得

，.

设，.

当时，即时，，.

∴在上单调递减.

当时，即时，

令，得，，.

当时，，

在上，，在上，，

∴在上单调递增，在上单调递减.

综上，当时，在上单调递减，

当时，在，上单调递减，在上单调递增，

当时，在上单调递增，在上单调递减.

（2）∵有两个极值点，，且，

∴由（1）知有两个不同的零点，，

，，且，此时，，

要证明，只要证明.

∵，∴只要证明成立.

∵，∴.

设，，

则，

当时，，

∴在上单调递增，

∴，即，

∴有两个极值点，，且时，.