题目内容
【题目】已知数列
的前
项和为
，且
，
.
（1）求数列的通项公式；
（2）已知
，记
（
且
），是否存在这样的常数
，使得数列
是常数列，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
（3）若数列
，对于任意的正整数，均有
成立，求证：数列是等差数列.
【答案】（1）
（2）
（3）见解析
【解析】
（1）根据和项与通项关系得
，再根据等比数列定义与通项公式求解（2）先化简
，再根据恒成立思想求
的值（3）根据和项得
，再作差得
，最后根据等差数列定义证明.
（1）
，所以
，
由
得
时，
，
两式相减得，
，，
数列
是以2为首项，公比为
的等比数列，所以.
（2）若数列
是常数列，
为常数.
只有
，解得，
此时
.
（3）
①
，
，其中，所以
，
当时，
②
②式两边同时乘以得，③
①式减去③得，
，所以，
因为
，
所以数列
是以
为首项，公差为
的等差数列.
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