Question

【题目】如图所示，在直角坐标系中，点到抛物线的准线的距离为.点是上的定点，，是上的两动点，且线段的中点在直线上.

（Ⅰ）求曲线的方程及的值；

（Ⅱ）记，求的最大值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ），.（Ⅱ）.

【解析】分析：（Ⅰ）由抛物线准线方程及P到准线的距离，可求得，进而求得抛物线方程，将点M的坐标代入抛物线 ，即可求得t.

（Ⅱ）求直线OM方程，点Q在直线OM上，根据直线方程表示点Q坐标，消去参数n，

利用点差法表示出直线AB斜率，进而求出直线方程，将直线AB方程与抛物线方程联立，用弦长公式求弦长，从而将d表示为关于m的函数，根据m范围求最值.

详解：（1）的准线为，∴，∴，

∴抛物线的方程为.又点在曲线上，∴.

（2）由（1）知，点，从而，即点，

依题意，直线的斜率存在，且不为，

设直线的斜率为.且，，

由得，故，

所以直线的方程为，即.

由消去，整理得，

所以，，.

从而.

∴，

当且仅当，即时，上式等号成立，

又满足.∴的最大值为.