题目内容
（1）已知a，b，c是不全相等的正数，求证：a（b2+c2）+b（c2+a2）+c（a2+b2）＞6abc；
（2）求证：
+
＞2
+
．
（2）求证：
| 6 |
| 7 |
| 2 |
| 5 |
考点：不等式的证明
专题：证明题
分析：（1）依题意，a、b、c均为正数，利用基本不等式及不等式的性质知b2+c2≥2bc，a（b2+c2）≥2abc；同理可得b（c2+a2）≥2abc；c（a2+b2）≥2abc；于是可证结论成立；
（2）利用分析法，要证原不等式成立，只需证不等号两端平方之后的不等式成立即可，最后只需证：
＞
，该式显然成立，于是可得原不等式成立．
（2）利用分析法，要证原不等式成立，只需证不等号两端平方之后的不等式成立即可，最后只需证：
| 42 |
| 40 |
解答：
证明：（1）∵a，b，c是正数，
∴b2+c2≥2bc，a（b2+c2）≥2abc；
同理可得，b（c2+a2）≥2abc；
c（a2+b2）≥2abc；
又a，b，c是不全相等的正数，
∴a（b2+c2）+b（c2+a2）+c（a2+b2）＞6abc；
（2）要证明：
+
＞2
+
成立，
只需证明：6+7+2
•
＞8+5+2×2
成立，
即证：
＞
，该式显然成立，
故原不等式成立．
∴b2+c2≥2bc，a（b2+c2）≥2abc；
同理可得，b（c2+a2）≥2abc；
c（a2+b2）≥2abc；
又a，b，c是不全相等的正数，
∴a（b2+c2）+b（c2+a2）+c（a2+b2）＞6abc；
（2）要证明：
| 6 |
| 7 |
| 2 |
| 5 |
只需证明：6+7+2
| 6 |
| 7 |
| 10 |
即证：
| 42 |
| 40 |
故原不等式成立．
点评：本题考查不等式的证明，着重考查基本不等式的应用，突出分析法的考查，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为（ ）
| A、15 | B、105 |
| C、245 | D、945 |
某高校共有学生15000人，其中男生10500人，女生4500人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300名学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时）．
已知函数y=f（x）（x∈[-2，6]）的图象如图．根据图象写出：