Question

【题目】已知函数．

（1）判断函数在区间上零点的个数，并说明理由．

（2）当时，

①比较与的大小关系，并说明理由；

②证明：．

Answer 1

【答案】（1）有唯一一个零点，理由详见解析；（2）①，证明详见解析；②证明见解析．

【解析】

（1）先对函数求导，然后结合导数可判断函数的单调性，结合函数的性质可求函数的零点个数；

（2）①令，然后对其求导，结合导数可研究函数的单调性，进而由函数的取值范围可比较大小；

②结合①的结论，利用分析法分析结论成立的条件，然后利用导数可求．

（1）因为，所以．

当时，，函数在上单调递增，

所以，且，故在上无零点；

当时，，函数在上单调递减，

又由，

故在区间上有唯一零点；

综上，函数在区间上有唯一一个零点．

（2）①，证明过程如下：

设函数，则，

令，即，解得；

令，即，解得，

所以函数在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，π）上单调递增．

则函数在处取得极小值，亦即最小值，

即，

综上可得，成立；

②要证：ln[f（x）]+1ecosxf（x）﹣cosx成立，

即证明ln（sinx﹣xcosx）（sinx﹣xcosx）ecosx﹣cosx﹣1成立，

因为f（x）在（0，π）上单调递增，，

即sinx﹣xcosx＞0，所以（sinx﹣xcosx）ecosx＞0，

由①知，即有，

有（sinx﹣xcosx）ecosx≥1+ln[（sinx﹣xcosx）ecosx]成立，

当时，成立，

由成立，

此时能取等号，即有成立，

即成立.