Question

某同学在一次研究性学习中发现，以下四个式子的值都等于同一个常数．
（1）sin²12°+sin²48°+sin12°sin48°
（2）sin²15°+sin²45°+sin15°sin45°
（3）sin²（-12°）+sin²72°+sin（-12°）sin72°
（4）sin²（-15°）+sin²75°+sin（-15°）sin75°
（Ⅰ）试从上述四个式子中选择一个，求出这个常数
（Ⅱ） 根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广成三角恒等式，并证明你的结论．

Answer 1

考点：二倍角的正弦,归纳推理

专题：计算题,三角函数的求值

分析：（Ⅰ）选择（2），由sin²15°+cos²15°-sin15°cos15°=1-

1

2

sin30°=

3

4

，可得这个常数的值．
（Ⅱ）推广，得到三角恒等式sin²α+cos²（30°-α）-sinαcos（30°-α）=

3

4

．直接利用两角差的余弦公式代入等式的左边，化简可得结果．

解答： 解：（Ⅰ）选择（2），计算如下：
sin²15°+cos²15°-sin15°cos15°=1-

1

2

sin30°=

3

4

，故这个常数为

3

4

．
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广，得到三角恒等式sin²α+cos²（30°-α）-sinαcos（30°-α）=

3

4

．
证明：sin²α+cos²（30°-α）-sinαcos（30°-α）
=sin²α+(

3

2

cosα+

1

2

sinα)2-sinα（cos30°cosα+sin30°sinα）
=sin²α+

3

4

cos²α+

1

4

sin²α+

3

2

sinαcosα-

3

2

sinαcosα-

1

2

sin²α=

3

4

sin²α+

3

4

cos²α=

3

4

．

点评：本题主要考查两角差的余弦公式，二倍角公式的应用，考查归纳推理以及计算能力，属于中档题．