Question

【题目】如图所示，已知为圆的直径，点为线段上一点，且，点为圆上一点，且．点在圆所在平面上的正投影为点，．

（1）求证：；

（2）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）

【解析】

试题（1）先利用平面几何知识与线面垂直的性质证线线垂直，由线线垂直得到线面垂直，再由线面垂直得到线线垂直；（2）建立空间坐标系，利用向量法求解即可．

试题解析：(1)如图,连接，

由知，点为的中点，

又∵为圆的直径，

∴，

由知，，

∴为等边三角形，从而．

∵点在圆所在平面上的正投影为点，

∴平面，又平面，

∴，

由得，平面，

又平面，

∴．

（2）以为原点，、和的方向分别为轴、轴和轴的正向，建立如图所示的空间直角坐标系,

设，由，得，，，

∴，，，，

∴，，，

由平面，知平面的一个法向量为．

设平面的一个法向量为，则

，即，令，则，，

∴，

设二面角的平面角的大小为，

则，

∴二面角的余弦值为．