题目内容

10．我边防局接到情报，在海礁AB所在直线l的一侧点M处有走私团伙在进行交易活动，边防局迅速派出快艇前去搜捕．如图，已知快艇出发位置在l的另一侧码头P处，PA=8公里，PB=10公里，∠APB=60°．
（1）是否存在点M，使快艇沿航线P→A→M或P→B→M的路程相等．如存在，则建立适当的直角坐标系，求出点M的轨迹方程，且画出轨迹的大致图形；如不存在，请说明理由．
（2）问走私船在怎样的区域上时，路线P→A→M比路线P→B→M的路程短，请说明理由．

分析 （1）建立坐标系，利用双曲线的定义，可得结论；
（2）走私船在直线l的左侧，且在（1）中曲线的左侧的区域时，路线P→A→M最短．

解答 解：（1）建立如图所示的坐标系，|MA|-|MB|=2，

∴M的轨迹是双曲线的右支，|AB|=$\sqrt{64+100-80}$=2$\sqrt{21}$，
∴$a=1，c=\sqrt{21}，{b}^{2}=20$，
∴M的轨迹方程是${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{20}$=1（x＞1，y＞0）；
（2）走私船在直线l的左侧，且在（1）中曲线的左侧的区域时，路线P→A→M最短．
理由：设AM的延长线与（1）中曲线交于点N，则PA+AN=PB+BN，
PA+AM=PA+AN-MN=PB+BN-MN＜PB+BM．

点评 本题考查利用数学知识解决实际问题，考查双曲线的定义与方程，属于中档题．

练习册系列答案
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