Question

定义域为R的函数y=f（x），若对任意两个不相等的实数x₁，x₂，都有x₁f（x₁）+x₂f（x₂）＞x₁f（x₂）+x₂f（x₁），则称函数为“H函数”，现给出如下函数：
①y=-x³+x+1②y=3x-2（sinx-cosx）③y=e^x+1④f(x)=

ln|x|，x≠0 0，x=0

其中为“H函数”的有（　　）

• A、①②
• B、③④
• C、②③
• D、①②③

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用

分析：不等式x₁f（x₁）+x₂f（x₂）＞x₁f（x₂）+x₂f（x₁）等价为（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0，即满足条件的函数为单调递增函数，判断函数的单调性即可得到结论．

解答： 解：∵对于任意给定的不等实数x₁，x₂，不等式x₁f（x₁）+x₂f（x₂）＞x₁f（x₂）+x₂f（x₁）恒成立，
∴不等式等价为（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0恒成立，
即函数f（x）是定义在R上的增函数．
①函数y=-x³+x+1，则y′=-3x²+1，当x＜-

3

3

，或x＞

3

3

时，y′＜0，此时函数为减函数，不满足条件．
②y=3x-2（sinx-cosx），y′=3-2（cosx+sinx）＞0，函数单调递增，满足条件．
③y=e^x+1为增函数，满足条件．
④f（x）=f(x)=

ln|x|，x≠0 0，x=0

，当x＞0时，函数单调递增，当x＜0时，函数单调递减，不满足条件．
综上满足“H函数”的函数为②③，
故选：C

点评：本题主要考查函数单调性的应用，将条件转化为函数的单调性的形式是解决本题的关键．