Question

已知直线l：x+y-2=0，一束光线从点P（0，1+

3

）以120°的倾斜角射到直线l上反射．
（1）求反射光线所在直线m的方程；
（2）若M是圆C：（x-1）²+（y+1）²=1上一点，求点M到直线m的距离的最大值和最小值．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：综合题,直线与圆

分析：（1）求出入射点、P关于l的对称点的坐标，利用两点式，可得反射光线所在直线m的方程；
（2）求出圆心到直线的距离，则点M到直线m的距离的最大值为d+r，最小值d-r．

解答： 解：（1）设入射光线所在直线l₁，斜率为k₁，则k₁=tan120°=-

3

，
l₁：y-（1+

3

）=-

3

x，
与x+y-2=0联立，入射点A （1，1），
设P′（m，n）为P关于l的对称点，
则

1+ 3 -n 0-m •(-1)=-1 m 2 + n+1+ 3 2 -2=0

，
解得m=1-

3

，n=2，即P’（1-

3

，2），
∴反射光线所在直线AP′：

y-1

2-1

=

x-1

1- 3 -1

，即 x+

3

y-1-

3

=0．
（2）圆C：（x-1）²+（y+1）²=1，可得圆心为（1，-1），半径r=1，
∵圆心到直线的距离d=

|1+ 3 •(-1)-1- 3 |

2

=

3

，
∴点M到直线m的距离的最大值为：d+r=

3

+1，最小值：d-r=

3

-1．

点评：本题考查点的对称问题，考查直线与圆的位置关系，考查点到直线距离公式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．