Question

16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a、b、c，已知b=2，且cos2B+cosB+cos（A-C）=1，当a+2c取得最小值时，最大边所对角的余弦值是-$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

Answer 1

分析 使用二倍角公式和两角和的余弦函数公式化简，借助于正弦定理得出a，b，c成等比数列，利用基本不等式得出a+2c取得最小值时的条件，代入余弦定理即可求出．

解答 解：在△ABC中，∵cos2B+cosB+cos（A-C）=1，
∴cosB+cos（A-C）=1-cos2B，
∵cosB=-cos（A+C），cos2B=1-2sin²B，
∴cos（A-C）-cos（A+C）=2sin²B，
∴-2sinAsin（-C）=2sin²B，即sinAsinC=sin²B，
∴ac=b²=4．即c=$\frac{4}{a}$．
∴a+2c=a+$\frac{8}{a}$≥2$\sqrt{8}$=4$\sqrt{2}$，当且仅当a=$\frac{8}{a}$即a=2$\sqrt{2}$时取等号．
∴当a+2c取得最小值时，a=2$\sqrt{2}$，c=$\sqrt{2}$．
∴最大边对的角为A，
由余弦定理得cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{4+2-8}{4\sqrt{2}}$=-$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
故答案为：-$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

点评 本题考查了三角函数的恒等变换，正弦定理，余弦定理，属于中档题．