Question

6．已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c=1，cosBsinC+（a-sinB）cos（A+B）=0．
（1）求角C的大小；
（2）求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用三角形的内角转化为A的三角函数，利用两角和的正弦函数求解结合正弦定理求出表达式，求出结合即可．
（2）由余弦定理以及基本不等式可求ab的最大值，利用三角形面积公式即可得解．

解答 解：（1）∵cosBsinC+（a-sinB）cos（A+B）=0，
∴可得：cosBsinC-（a-sinB）cosC=0，
即：sinA-acosC=0，
∵由正弦定理可知：$\frac{a}{sinA}$=$\frac{c}{sinC}$，
∴$\frac{asinC}{c}$-acosC=0，又c=1，
∴asinC-acosC=0，
∴sinC-cosC=0，可得$\sqrt{2}$sin（C-$\frac{π}{4}$）=0，C是三角形内角，
∴C=$\frac{π}{4}$．
（2）∵由余弦定理可知：c²=a²+b²-2abcosC，
得1=a²+b²-$\sqrt{2}$ab≥2ab-$\sqrt{2}$ab，解得：ab≤$\frac{1}{2-\sqrt{2}}$=$\frac{2+\sqrt{2}}{2}$（当且仅当a=b时等号成立），
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC≤$\frac{1}{2}×$$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\frac{2+\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}+1}{4}$，即△ABC面积的最大值为$\frac{\sqrt{2}+1}{4}$．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，基本不等式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．