Question

已知函数f（x）=ax-lnx，g（x）=

lnx

x

，它们的定义域都是（0，e]．（e≈2.718）
（1）当a=1时，求函数f（x）的最小值；
（2）当a=1时，求证：f（m）＞g（n）+

17

27

对一切m，n∈（0，e]恒成立；
（3）是否存在实数a，使得f（x）的最小值是3？如果存在，求出a的值；如果不存在，说明理由．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）利用导数研究函数f（x）的单调性极值与最值即可得出；
（2）f（m）＞g（n）+

17

27

对一切m，n∈（0，e]恒成立?f(x)min＞g(x)max+

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，分别利用导数研究其单调性极值与最值即可；
（3）假设存在实数a，使得f（x）的最小值是3，f′(x)=a-

1

x

=

ax-1

x

．分类讨论：当a≤

1

e

时，当a＞

1

e

时，研究函数f（x）的单调性极值与最值即可得出．

解答： （1）解：当a=1时，f（x）=x-lnx，f′(x)=1-

1

x

=

x-1

x

．
∵f（x）定义域是（0，e]，当x=1时f'（x）=0，
当x∈（0，1）时f'（x）＜0，当x∈（1，e]时f'（x）＞0，
∴当x=1时，f（x）有最小值f（1）=1．
（2）证明：由（1）知，在a=1且m∈（0，e]时，有f（m）≥1．
又∵x∈（0，e]，g′(x)=

1-lnx

x2

≥0，
∴g（x）在区间（0，e]上为增函数，g(x)≤g(e)=

1

e

＜

1

2.7

=

10

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，
∴当n∈（0，e]时，g(n)+

17

27

＜

10

27

+

17

27

=1．
∵f（m）≥1，∴f(m)＞g(n)+

17

27

对一切m，n∈（0，e]恒成立．
（3）假设存在实数a，使得f（x）的最小值是3，f′(x)=a-

1

x

=

ax-1

x

．
①当a≤

1

e

时，∵x∈（0，e]，∴ax≤1，f'（x）≤0，
∴f（x）在（0，e]上为减函数．
∴当x=e时f（x）取最小值f（e）=ae-1=3，此时a=

4

e

，矛盾，故舍去．
②当a＞

1

e

时，令f'（x）＜0，得0＜x＜

1

a

；令f'（x）＞0，得

1

a

＜x≤e．
∴f（x）在(0，

1

a

]上为减函数，在(

1

a

，e]上为增函数．
∴当x=

1

a

时，f（x）取最小值f(

1

a

)=1-ln

1

a

=3，此时a=e²．
∴假设成立，因此存在a=e²，使得f（x）的最小值是3．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．