Question

【题目】若函数f（x）=（1﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=﹣2对称，则f（x）的最大值为 ．

Answer 1

【答案】16
【解析】解：∵函数f（x）=（1﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=﹣2对称，
∴f（﹣1）=f（﹣3）=0且f（1）=f（﹣5）=0，
即[1﹣（﹣3）2][（﹣3）2+a（﹣3）+b]=0且[1﹣（﹣5）2][（﹣5）2+a（﹣5）+b]=0，
解之得 ，
因此，f（x）=（1﹣x2）（x2+8x+15）=﹣x4﹣8x3﹣14x2+8x+15，
求导数，得f′（x）=﹣4x3﹣24x2﹣28x+8，
令f′（x）=0，得x1=﹣2﹣ ，x2=﹣2，x3=﹣2+ ，
当x∈（﹣∞，﹣2﹣ ）时，f′（x）＞0；当x∈（﹣2﹣ ，﹣2）时，f′（x）＜0；
当x∈（﹣2，﹣2+ ）时，f′（x）＞0； 当x∈（﹣2+ ，+∞）时，f′（x）＜0
∴f（x）在区间（﹣∞，﹣2﹣ ）、（﹣2，﹣2+ ）上是增函数，在区间（﹣2﹣ ，﹣2）、（﹣2+ ，+∞）上是减函数．
又∵f（﹣2﹣ ）=f（﹣2+ ）=16，
∴f（x）的最大值为16．
所以答案是：16．
【考点精析】本题主要考查了函数的最大(小)值与导数的相关知识点，需要掌握求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值才能正确解答此题．