题目内容
【题目】如图,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1 , ∠BAA1=60°.
(1)证明AB⊥A1C;
(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B,AB=CB,求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值.
【答案】
(1)解:取AB的中点O,连接OC,OA1,A1B,
因为CA=CB,所以OC⊥AB,由于AB=AA1,∠BAA1=60°,
所以△AA1B为等边三角形,所以OA1⊥AB,
又因为OC∩OA1=O,所以AB⊥平面OA1C,
又A1C平面OA1C,故AB⊥A1C;
(2)解:由(1)知OC⊥AB,OA1⊥AB,又平面ABC⊥平面AA1B1B,交线为AB,
所以OC⊥平面AA1B1B,故OA,OA1,OC两两垂直.
以O为坐标原点, 的方向为x轴的正向,|
|为单位长,建立如图所示的坐标系,
可得A(1,0,0),A1(0, ,0),C(0,0,
),B(﹣1,0,0),
则 =(1,0,
),
=(﹣1,
,0),
=(0,﹣
,
),
设 =(x,y,z)为平面BB1C1C的法向量,则
,即
,
可取y=1,可得 =(
,1,﹣1),故cos<
,
>=
=-
,
又因为直线与法向量的余弦值的绝对值等于直线与平面的正弦值,
故直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为: .
【解析】(1)取AB的中点O,连接OC,OA1 , A1B,由已知可证OA1⊥AB,AB⊥平面OA1C,进而可得AB⊥A1C;(2)易证OA,OA1 , OC两两垂直以O为坐标原点, 的方向为x轴的正向,|
|为单位长,建立坐标系,可得
,
,
的坐标,设
=(x,y,z)为平面BB1C1C的法向量,则
,可解得
=(
,1,﹣1),可求|cos<
,
>|,即为所求正弦值.
【考点精析】关于本题考查的直线与平面垂直的性质和平面与平面垂直的判定,需要了解垂直于同一个平面的两条直线平行;一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直才能得出正确答案.
![](http://thumb.zyjl.cn/images/loading.gif)
【题目】通过随机询问110名不同的大学生是否爱好某项运动,得到如下的列联表:
经计算的观测值
. 参照附表,得到的正确结论是
附表:
男 | 女 | 总计 | |
爱好 | 40 | 20 | 60 |
不爱好 | 20 | 30 | 50 |
总计 | 60 | 50 | 110 |
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
A. 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
B. 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
C. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关”
D. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别无关”