题目内容

【题目】如图,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1 , ∠BAA1=60°.

(1)证明AB⊥A1C;
(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B,AB=CB,求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值.

【答案】
(1)解:取AB的中点O,连接OC,OA1,A1B,

因为CA=CB,所以OC⊥AB,由于AB=AA1,∠BAA1=60°,

所以△AA1B为等边三角形,所以OA1⊥AB,

又因为OC∩OA1=O,所以AB⊥平面OA1C,

又A1C平面OA1C,故AB⊥A1C;


(2)解:由(1)知OC⊥AB,OA1⊥AB,又平面ABC⊥平面AA1B1B,交线为AB,

所以OC⊥平面AA1B1B,故OA,OA1,OC两两垂直.

以O为坐标原点, 的方向为x轴的正向,| |为单位长,建立如图所示的坐标系,

可得A(1,0,0),A1(0, ,0),C(0,0, ),B(﹣1,0,0),

=(1,0, ), =(﹣1, ,0), =(0,﹣ ),

=(x,y,z)为平面BB1C1C的法向量,则 ,即

可取y=1,可得 =( ,1,﹣1),故cos< >= =-

又因为直线与法向量的余弦值的绝对值等于直线与平面的正弦值,

故直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为:


【解析】(1)取AB的中点O,连接OC,OA1 , A1B,由已知可证OA1⊥AB,AB⊥平面OA1C,进而可得AB⊥A1C;(2)易证OA,OA1 , OC两两垂直以O为坐标原点, 的方向为x轴的正向,| |为单位长,建立坐标系,可得 的坐标,设 =(x,y,z)为平面BB1C1C的法向量,则 ,可解得 =( ,1,﹣1),可求|cos< >|,即为所求正弦值.
【考点精析】关于本题考查的直线与平面垂直的性质和平面与平面垂直的判定,需要了解垂直于同一个平面的两条直线平行;一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直才能得出正确答案.

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