Question

（2008•湖北模拟）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是矩形，且AD=

2

AB，AB=AP，PA⊥底面ABCD，E为AD的中点，F为PC的中点．
（1）求证：EF为AD及PC的公垂线（2）求直线BD与平面BEF所成的角．

Answer 1

分析：方法一：（1）利用空间向量，欲证EF为AD及PC的公垂线，因为E，F两点分别在AD，PC上，只需证明

AD

•

EF

=0，

PC

•

EF

=0，建立空间直角坐标系，用向量的数量积公式计算即可．
（2）欲求直线BD与平面BEF所成的角，只需把求出EF的方向向量与平面BEF的法向量所成的角，则求直线BD与平面BEF所成的角等于该角或其补角．
方法二：（1）欲证EF为AD及PC的公垂线，因为E，F两点分别在AD，PC上，只需证明EF⊥PC，EF⊥AD，连接FO、OE、EP、EC，通过够造的三角形EPC为等腰三角形，证明EF⊥PC，利用三垂线定理证明EF⊥AD．
（2）欲求直线BD与平面BEF所成的角，只需找到直线BD在平面BEF上的射影，则BD与它的射影所成角即为所求．过O作OH⊥平面EFB于H，连BH，∠OBH为所求BD与平面EFB所成的角，再利用等体积法求出OH即可．

解答：解；方法一：
设AB=1，则AD=

2

（1）A（0，0，0）B（0，1，0）C(

2

，1，0)D(

2

，0，0)E(

2

2

，0，0)P（0，0，1）F(

2

2

，

1

2

，

1

2

)

AD

=(

2

，0，0)    

PC

=(

2

，1，-1) 

EF

=(0，

1

2

，

1

2

)
∴

AD

•

EF

=0 

PC

•

EF

=-

1

2

+

1

2

=0
∴AD⊥EF    PC⊥EF
故PC为AD及EF的公垂线                            
（2）

EB

=(-

2

2

，1，0) 

PC

•

EB

=-1+1+0=0
∴PC⊥EB∴PC⊥平面EFB故

PC

可看成平面EFB的法向量
故sinα=

PC  • BD

| PC || BD |

=

2-1

2× 3

=

3

6

方法二：
（1）连FO、OE、EP、EC∵EP²=EA²+AP² EC²=ED²+CD²
又∵AB=AP=CD    EA=ED∴EP=EC
又∵F为PC的中点∴EF⊥PC
又∵OF∥AP∴OF⊥平面ABCD
而OE⊥AD∴EF⊥AD
故EF为AD及PC的公垂线                             
（2）过O作OH⊥平面EFB于H，连BH，∠OBH为所求BD与平面EFB所成的角                                                
设AD=

2

AB=1EF2=(

1

2

)2+(

1

2

)2=

1

2

BF2=(

1

2

)2+(

3

2

)2=1
∴EF²+BF²=BE²∴V_O-EFB=V_F-OEB

1

3

×

1

2

×

2

2

×1×OH=

1

3

×

1

2

×

2

2

×

1

2

×

1

2

∴OH=

1

4

sin∠OBH=

1 4

3 2

=

3

6

点评：本题主要考查了两异面直线公垂线的判断，以及直线与平面所成角的求法，综合考查了学生的识图能力，空间想象力，计算能力．