题目内容

(2008•湖北模拟)已知f(x)=ax3+bx2+cx+d为奇函数,且在点(2,f(2))处的切线方程为9x-y-16=0.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若y=f(x)+m的图象与x轴仅有一个公共点,求m的范围.
分析:(1)由题意可知f(x)为奇函数,利用奇函数的定义求得b,d.再利用导数的几何意义知在x=2处的导数等于切线的斜率,切点在函数f(x)的图象上,建立方程组,解之即可求出函数f(x)的解析式.
(2)将题中条件:“y=f(x)+m的图象与x轴仅有一个公共点”等价于“g(x)=x3-3x+m的其图象和x轴只有一个交点”,利用导数求得原函数的极值,最后要使g(x)=x3-3x+m的其图象和x轴只有一个交点,得到关于m的不等关系,从而求实数m的取值范围.
解答:解:(1)∵f(x)为奇函数,∴b=d=0,∴f(x)=ax3+cx∵f(x)过点(2,2),f'(x)=3ax2+c,
2=8a+2c
9=12a+c

∴a=1,c=-3
∴f(x)=x3-3x(6分)
(2)设g(x)=f(x)+m,即g(x)=x3-3x+m,g'(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1)
当x变化时,g'(x)变化情况如下表:
x (-∞,-1) -1 (-1,1) 1 (1,+∞)
g'(x) + 0 - 0 +
g(x) 极大值 极小值
所以g'(x)的极大值2+m,极小值-2+m
要y=f(x)+m与x轴只有一个交点,只需-2+m>0或2+m<0
故当m∈(-∞,-2)∪(2,+∞)时,y=f(x)+m与x轴只有一个交点(13分).
点评:本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程,考查函数单调性的应用、利用导数研究函数的单调性、导数在最大值、最小值问题中的应用、不等式的解法等基础知识,考查运算求解能力,转化思想.
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