Question

（2008•湖北模拟）某工厂去年某产品的年产量为100万只，每只产品的销售价为10元，固定成本为8元．今年，工厂第一次投入100万元（科技成本），并计划以后每年比上一年多投入100万元（科技成本），预计产量年递增10万只，第n次投入后，每只产品的固定成本为g(n)=

k

n+1

（k＞0，k为常数，n∈Z且n≥0），若产品销售价保持不变，第n次投入后的年利润为f（n）万元．
（1）求k的值，并求出f（n）的表达式；
（2）问从今年算起第几年利润最高？最高利润为多少万元？

Answer 1

分析：（1）根据每只产品的固定成本为8元及关系式为g(n)=

k

n+1

，可求k的值，利用第n次投入后的年利润为f（n）万元，可建立函数关系式；
（2）先由（1）可得利润函数，再用基本不等式求最高利润．

解答：解：（1）由g(n)=

k

n+1

，当n=0时，由题意，可得k=8，
所以f（n）=（100+10n）(10-

8

n+1

)-100n．
（2）由f(n)=(100+10n)(10-

8

n+1

)-100n=1000-80(

n+10

n+1

)=1000-80(

n+1

+

9

n+1

)≤1000-80×2

9

=520．
当且仅当

n+1

=

9

n+1

，即n=8时取等号，所以第8年工厂的利润最高，最高为520万元

点评：本题的考点是函数模型的选择与应用，主要考查函数模型的构建，考查利用基本不等式求最值，关键是从实际问题中抽象出数学模型．