Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，a_n+1=2S_n+1（n∈N^*），等差数列{b_n}中，b₂=5，且公差d=2．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）是否存在正整数n，使得a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n＞60n？若存在，求n的最小值，若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）根据等差数列的通项公式，建立方程关系即可求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2求出数列{a_nb_n}的前n项和Sn，即可解不等式．

解答： 解：（1）∵a_n+1=2S_n+1，
∴当n≥2时，a_n=2S_n-1+1两式相减得：a_n+1=3a_n（n≥2）
又a₂=2a₁+1=3=3a₁，∴a_n+1=3a_n（n∈N*）．
∴数列{a_n}是以1为首项，3为公比的等比数列，
∴a_n=3^n-1．
又b₁=b₂-d=5-2=3，∴b_n=b₁+（n-1）d=2n-1．
（2）an•bn=(2n+1)•3n-1
令Tn=3×1+5×3+7×32+…+(2n-1)×3n-2+(2n+1)×3n-1…①
则3T_n=3×3+5×3²+7×3³+…+（2n-1）×3^n-1+（2n+1）×3ⁿ…②
①-②得：-2Tn=3×1+2(3+32+…+3n-1)-(2n+1)×3n
∴T_n=n×3ⁿ＞60n，即3ⁿ＞60，
∵3³=27，3⁴=81，
∴n的最小正整数为4．

点评：本题主要考查数列的通项公式和数列前n项和Sn的计算，以及数列与不等式的综合应用，利用错位相减法是解决本题的关键．