Question

已知函数f(x)=

3x

2x+3

，数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=f（a_n），n∈N^*，
（Ⅰ）求证：数列{

1

an

}是等差数列；
（Ⅱ）令b_n=a_n-1•a_n（n≥2），b₁=3，S_n=b₁+b₂+…+b_n，若Sn＜

m-2002

2

对一切n∈N^*成立，求最小正整数m．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用f(x)=

3x

2x+3

，a_n+1=f（a_n），可得a_n+1=

3an

2an+3

，取倒数可得

1

an+1

-

1

an

=

2

3

，从而数列{

1

an

}是等差数列
（Ⅱ）由（Ⅰ）知an=

3

2n+1

，根据b_n=a_n-1•a_n（n≥2），可得bn=an-1an=

9

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，进而可裂项求和
，从而将Sn＜

m-2002

2

，转化为

9

2

(1-

1

2n+1

)＜

m-2002

2

对一切n∈N^*成立，故可求．

解答：证明：（Ⅰ）∵f(x)=

3x

2x+3

，
∴a_n+1=

3an

2an+3

∴

1

an+1

-

1

an

=

2

3

∴数列{

1

an

}是等差数列
（Ⅱ）由（Ⅰ）知an=

3

2n+1

；
当n≥2时，bn=an-1an=

9

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)
当n=1时，上式同样成立
∴Sn=b1+b2+…+bn=

9

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)=

9

2

(1-

1

2n+1

)
∴Sn＜

m-2002

2

，即

9

2

(1-

1

2n+1

)＜

m-2002

2

对一切n∈N^*成立，
又

9

2

(1-

1

2n+1

)随n递增，且

9

2

(1-

1

2n+1

)＜

9

2

∴

9

2

≤

m-2002

2

，
∴m≥2011，
∴m_最小=2011

点评：本题以函数为载体，考查构造法证明等差数列，考查裂项求和，考查恒成立问题，综合性强．