Question

【题目】如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面ABB1A1为菱形，D为AB的中点，为等腰三角形，∠ACB＝，∠ABB1＝，且AB＝B1C.

（1）证明：CD⊥平面ABB1A1 ；

（2）求CD与平面A1BC所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】

(1)推导出CD⊥AB,连结B1D,设AB=2a,推导出CD⊥B1D,由此能证明CD⊥平面ABB1A1；(2)以D为坐标原点，建立空间直角坐标系,利用向量法能求出CD与平面所成角的正弦值.

证明：因为D为AB的中点，，所以．
连接，设，因为四边形为菱形，D为AB的中点，，
所以，
又为等腰直角三角形，，所以，

所以，则D.

因为，所以平面

（2）以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

设，则0，，，，0，，

所以，，

设平面的法向量为y，，则，

即，令，得．

设CD与平面所成角为，因为，

所以

所以，

即CD与平面所成角的正弦值为．