题目内容
【题目】已知倾斜角为
的直线经过抛物线
的焦点
，与抛物线
相交于
、
两点，且
.
（1）求抛物线的方程；
（2）设
为抛物线上任意一点（异于顶点），过做倾斜角互补的两条直线
、
，交抛物线于另两点、
，记抛物线在点的切线
的倾斜角为
，直线
的倾斜角为
，求证：与互补.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
（1）根据题意，设直线方程为
，联立方程，根据抛物线的定义即可得到结论；
（2）根据题意，设
的方程为
，联立方程得
，同理可得
，进而得到
，再利用点差法得直线
的斜率，利用切线与导数的关系得直线
的斜率，进而可得
与
互补.
（1）由题意设直线
的方程为，令
、
，
联立
，得
，
根据抛物线的定义得
，
又
，
故所求抛物线方程为.
（2）依题意，设
，
，
设的方程为
，与联立消去
得
，
，同理
，直线的斜率
=
切线的斜率
，
由
，即与互补.
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【题目】一次考试结束后，随机抽查了某校高三（1）班5名同学的数学与物理成绩如下表：
学生 |
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数学 | 89 | 91 | 93 | 95 | 97 |
物理 | 87 | 89 | 89 | 92 | 93 |
（Ⅰ）分别求这5名同学数学与物理成绩的平均分与方差，并估计该班数学与物理成绩那科更稳定；
（Ⅱ）从以上5名同学中选2人参加一项活动，求选中的学生中至少有一个物理成绩高于90分的概率.
