Question

9．在正方体ABCD-A′B′C′D′中，判断下列命题是否正确，并说明理由：
（1）直线AC在平面ABCD内；
（2）设上下底面中心为O，O′，则平面AA′C′C与平面BB′D′D的交线为OO′．
（3）点A，O，C′可以确定一平面．
（4）平面AB′C′与平面AC′D重合．

Answer 1

分析 （1）由题意可得A，C都在平面ABCD上，即可得解；
（2）利用正方体的性质解得O，O′两点都在平面AA′C′C与平面BB′D′D上，即可得证；
（3）根据平面公理，“过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面”，即可得出答案；
（4）由AD∥B′C′，可得A，D，B′，C′四点共面，即可得证．

解答 解：（1）正确，
∵A∈平面ABCD，C∈平面ABCD，
∴AC?平面ABCD．
（2）正确，
∵在正方体ABCD-A′B′C′D′中，AC∩BD=O，A′C′∩B′D′=O′，
∴O∈平面AA′C′C，O′∈平面AA′C′C，O′∈平面BB′D′D，O∈平面BB′D′D，
∴OO′?平面AA′C′C，OO′?平面BB′D′D，
∴平面AA′C′C与平面BB′D′D的交线为OO′．
（3）正确，
∵C′不在直线AO上，
∴点A，O，C′可以确定一平面．
（4）正确，
∵AD∥BC∥B′C′，
∴A，D，B′，C′四点共面，
∴平面AB′C′与平面AC′D重合．

点评 本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意平面的基本性质及其推论的合理运用．