Question

一个袋中装有形状大小完全相同的球9个，其中红球3个，白球6个，每次随机取1个，直到取出3次红球即停止．
（Ⅰ）从袋中不放回地取球，求恰好取4次停止的概率P₁；
（Ⅱ）从袋中有放回地取球．
①求恰好取5次停止的概率P₂；
②记5次之内（含5次）取到红球的个数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,排列、组合及简单计数问题

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）利用古典概型的概率计算公式能求出恰好取4次停止的概率P₁．
（Ⅱ）①利用n次独立重复试验概率公式能求出恰好取5次停止的概率P₂．
②由题意知随机变量ξ的取值为0，1，2，3，分别求出相对应的概率，由此能求出随机变量ξ的分布列及数学期望．

解答： 解：（Ⅰ）恰好取4次停止的概率：
P₁=（

6

9

×

3

8

×

2

7

+

3

9

×

6

8

×

2

7

+

3

9

×

2

8

×

6

7

）×

1

6

=

1

28

．
（Ⅱ）①恰好取5次停止的概率P₂=

C

2 4

×(

1

3

)2×(

2

3

)2×

1

3

=

8

81

．
②由题意知随机变量ξ的取值为0，1，2，3，
由n次独立重复试验概率公式P_n（k）=

C

k n

pk(1-p)n-k，得
P（ξ=0）=

C

0 5

×(1-

1

3

)5=

32

243

，
P（ξ=1）=

C

1 5

×

1

3

×(1-

1

3

)4=

80

243

，
P（ξ=2）=

C

2 5

×(

1

3

)2(1-

1

3

)3 =

80

243

，
ξ=3这个事件包括了三种情况，第一种取三次取到全是红球，第二种取四次取到三次红球，此时，第四次一定取到红球，前三次两次取到红球，第三种取五次取到三个红球，第五次取到的是红球，前四次取到两次红球，故有
P（ξ=3）=(

1

3

)3+

C

1 3

×(

1

3

)3×(1-

1

3

)+

C

2 4

×(

1

3

)3×(1-

1

3

)2=

51

243

，
∴ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3
P	32 243	80 243	80 243	51 243

∴Eξ=0×

32

243

+1×

80

243

+2×

80

243

+3×

51

243

=

131

81

．

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要注意n次独立重复试验概率公式的灵活运用．