Question

9．己知函数f（x）=2cosx（$\sqrt{3}$sinx-cosx）+1（x∈R）．
（1）求f（$\frac{5π}{12}$）的值；
（2）求函数f（x）在区[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]的最小值和最大值．

Answer 1

分析 （1）首先，化简函数解析式，得到f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$），然后，求解即可；
（2）结合（1），然后，借助于三角函数的单调性求解最值即可．

解答 解：（1）∵f（x）=2cosx（$\sqrt{3}$sinx-cosx）+1，
=$\sqrt{3}$sin2x-（1+cos2x）+1
=$\sqrt{3}$sin2x-cos2x
=2sin（2x-$\frac{π}{6}$），
∴f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）
∴f（$\frac{5π}{12}$）=2sin[2×$\frac{5π}{12}$-$\frac{π}{6}$]
=2sin$\frac{2π}{3}$
=$\sqrt{3}$，
（2）根据（1）知，f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）
∵$\frac{π}{6}$≤x≤$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{π}{3}$≤2x≤π，
∴$\frac{π}{6}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤$\frac{5π}{6}$，
∴$\frac{1}{2}$≤sin（2x-$\frac{π}{6}$）≤1，
∴1≤2sin（2x-$\frac{π}{6}$）≤2，
∴函数f（x）在区间[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]的最小值1，最大值为2．

点评 本题重点考查了辅助角公式、二倍角公式、三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．