Question

2．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠BCD=90°，AD=CD=1，BC=2，又PC=1，∠PCB=120°，PB⊥CD，点E在棱PD上，且PE=2ED．
（Ⅰ）求证：平面PCD⊥平面PBC；
（Ⅱ）求证：PB∥平面AEC；
（Ⅲ）求四面体E-ABC的体积．

Answer 1

分析 （1）由CD⊥BC，CD⊥PB可证出CD⊥平面PBC，故平面PCD⊥平面PBC；
（2）连结BD交AC于O，连结OE，由△AOD∽△COB可得$\frac{OD}{OB}=\frac{AD}{BC}=\frac{1}{2}$，结合$\frac{DE}{PE}=\frac{1}{2}$可知OE∥PB，故而PB∥平面AEC；
（3）过P作PH⊥BC交BC延长线于H，所以PH=PC•sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，从而求出E到底面ABC的距离h，从而求出棱锥的体积．

解答 证明：（1）∵∠BCD=90°，∴CD⊥BC，
又∵CD⊥PB，PB?平面PBC，BC?平面PBC，BC∩PB=B，
∴CD⊥平面PBC，∵CD?平面PCD，
∴平面PCD⊥平面PBC．
（2）连结BD交AC于O，连结OE，
∵AD∥BC，∴△AOD∽△COB，∴$\frac{OD}{OB}=\frac{AD}{BC}=\frac{1}{2}$，
∵PE=2ED，∴$\frac{DE}{PE}=\frac{1}{2}$，∴$\frac{DE}{PE}=\frac{OD}{OB}$，
∴OE∥PB，∵OE?平面AEC，PB?平面AEC，
∴PB∥平面AEC．
（3）过P作PH⊥BC交BC延长线于H，
∵CD⊥平面PBC，CD?平面ABCD，
∴平面PBC⊥平面ABCD，∵平面PBC∩平面ABCD=BC，PH⊥BC，PH?平面PBC，
∴PH⊥平面ABCD．
∵∠PCB=120°，∴PH=PC•sin（π-120°）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∵PE=2ED，∴E到平面ABCD的距离h=$\frac{1}{3}$PH=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•CD=1，
∴V_棱锥E-ABC=$\frac{1}{3}$S_△ABC•h=$\frac{\sqrt{3}}{18}$．

点评 本题考查了线面垂直，线面平行的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．