Question

11．如图是某直四棱柱被平面α所截得的部分，底面ABCD是矩形，侧棱GC、ED、FB都垂直于底面ABCD，GC=3，AB=2$\sqrt{2}$，BC=$\sqrt{5}$．
四边形AEGF为菱形，经过C且垂直于AG的平面与EG、AG、FG分别交于点M、H、N；
（1）求证：CN⊥BH；
（2）求面AFGE与底面ABCD所成二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）根据线面垂直的性质定理证明CN⊥面BAH即可证明CN⊥BH；
（2）建立坐标系求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可．

解答 （1）证明：连结BH，由题知AB⊥面BCGF
又∵CN?面BCGF，∴AB⊥CN                 
∵AG⊥面CMN，∴AG⊥CN                         
又∵AG∩AB=A，AG、AB?面BAH，
∴CN⊥面BAH
又∵BH?面BAH，∴CN⊥BH                                
（2）解：以DA、DC、DE为x、y、z轴，建立空间直角坐标系
∵四边形AEFG为菱形，可设AE=EG=a，DE=b
由AE²=AD²+DE²，得a²=5+b²，①
由EG²=（GC-DE）²+DC²，得 a²=（3-b）²+8，②
以上面两式解得：a=3，b=2                
∴E（0，0，2）、A（$\sqrt{5}$，0，0）、G（0，2$\sqrt{2}$，3）
∴$\overrightarrow{AE}$=（-$\sqrt{5}$，0，2）、$\overrightarrow{AG}$=（-$\sqrt{5}$，2$\sqrt{2}$.3），
设$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）为面AFGE的一个法向量，
则由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AG}=0}\end{array}\right.$，解得$\overrightarrow{n}$=（8，-$\sqrt{10}$，4$\sqrt{5}$） 为面AFGE的一个法向量
由题知$\overrightarrow{m}$=（0，0，1）为面ABCD的一个法向量
∴cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2\sqrt{770}}{77}$，
∴所求二面角的余弦值为$\frac{2\sqrt{770}}{77}$．

点评 本题综合考查空间中线线垂直和空间角的计算，涉及二面角的平面角，利用向量法是解决空间角常用的方法，考查的知识面较广，难度中等．