Question

设函数．
（1）当（为自然对数的底数）时，求的最小值；
（2）讨论函数零点的个数；
（3）若对任意恒成立，求的取值范围．

Answer 1

（1）2；（2）见解析；（3）.

解析试题分析：(1)利用导函数判断函数的单调性，并利用单调性求函数最值；（2）利用分离参数法，将函数零点问题转化为方程根的问题，令利用导数求函数值域，进而求出的取值范围；
（3）由条件中的任意性，可知,利用导函数可得, 分离参数既有.
试题解析：（1）解：
当时，令，解得；令,解得。
所以在上单调递减，在单调递增。
即                               .      4分
解： 由，可得，要使有零点，则令,则。
令，则。
若,则；若，则.
即函数在单调递增，值域为,在单调递减，值域为。
大致画出函数的图象：

由图可知，当或时，只有一个零点；当时，有2个零点；
当时，没有零点。                                        10分
由（1）可知.
当对于任意恒成立，即，
所以有,即.
故                            &