Question

9．已知公差不为0的等差数列{a_n}的前n项和为${S_n}（n∈{N^*}）$，若S₃=a₄+2，且a₁，a₃，a₁₃成等比数列
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）设${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，求数列{b_n}的前n项和为T_n．

Answer 1

分析 （1）设等差数列{a_n}的公差为d，由等差数列的通项公式和求和公式，以及等比数列的性质，解方程可得d=2，a₁=1，进而得到所求通项公式；
（2）求得${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}=\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，再由裂项相消求和即可得到所求．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，
由S₃=a₄+2得：3a₁+3d=a₁+3d+2∴a₁=1，
又∵a₁，a₃，a₁₃成等比数列，∴${a_3}^2={a_1}{a_{13}}$，
即${（{a_1}+2d）^2}={a_1}（{a_1}+12d）$，解得：d=2，
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1；
（2）${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}=\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，
∴${T_n}=\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）+…+（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]$
=$\frac{1}{2}[1-\frac{1}{2n+1}]=\frac{n}{2n+1}$．

点评 本题考查等差数列和等比数列的通项和求和公式的运用，考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查运算能力，属于中档题．