Question

2．已知α，β，γ均为锐角，且cos²α+cos²β+cos²γ=1，求证：$\frac{3π}{4}$＜α+β+γ＜π．

Answer 1

分析 根据题意，构造一个长方体ABCD-A′B′C′D′，使其三边分别为cosα、cosβ、cosγ，由且cos²α+cos²β+cos²γ=1知，其对角线长为1；由此得α=∠A′AC′，β=∠BAC′，γ=∠DAC′都是锐角，利用三面角A-A′C′B证明α+β+γ＞$\frac{3π}{4}$；三面角A-BA′C′证明α+β+γ＜π即可．

解答 解：如图所示，
 构造一个长方体ABCD-A′B′C′D′，使其三边分别为cosα、cosβ、cosγ，
由且cos²α+cos²β+cos²γ=1知，其对角线长为1；
由C′D⊥AD，AA′⊥AC，C′B⊥AB，
得α=∠A′AC′，β=∠BAC′，γ=∠DAC′都是锐角；
在三面角A-A′C′B中，∠A′AC′+∠C′AB＞∠A′AB=$\frac{π}{2}$，
则α+β＞$\frac{π}{2}$，同理，β+γ＞$\frac{π}{2}$，所以α+β+γ＞$\frac{3π}{4}$；
又取AC′的中点O，连接OA′、OB′、OC′，由O是长方体的中心，
得∠C′OA′=2α，∠C′OB=2β，∠C′OD=2γ，
易知△C′OD≌△A′OB，则∠A′OB=∠C′OD=2γ；
在三面角A-BA′C′中，∠C′OA′＞∠C′OB＞∠A′OB，
且∠C′OA′+∠C′OB+∠A′OB＜2π，
即2α+2β+2γ＜2π，所以α+β+γ＜π，
从而$\frac{3π}{4}$＜α+β+γ＜π．

点评 本题考查了三角函数的性质与证明问题，也考查了等价转化思想，是难题．