Question

11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos A=$\frac{3}{5}$，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=6．
（1）求△ABC的面积；
（2）若b+c=7，求a的值．

Answer 1

分析 （1）先求出sin A=$\frac{4}{5}$，再由$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AC}$|•cos A=$\frac{3}{5}$bc=6，求出bc=10，由此能求出△ABC的面积．
（2）由bc=10，b+c=7，利用余弦定理能求出a的值．

解答 解：（1）∵在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos A=$\frac{3}{5}$，
∴A∈（0，π），sin A=$\sqrt{1-（\frac{3}{5}）^{2}}$=$\frac{4}{5}$，
∵$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AC}$|•cos A=$\frac{3}{5}$bc=6，
∴bc=10，
∴△ABC的面积为：$\frac{1}{2}$bcsin A=$\frac{1}{2}$×10×$\frac{4}{5}$=4．
（2）由（1）知bc=10，
b+c=7，
∴a=$\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}-2bccosA}$=$\sqrt{（b+c）^{2}-2bc-2bccosA}$=$\sqrt{49-20-20×\frac{3}{5}}$=$\sqrt{17}$．

点评 本题考查三角形的面积的求法，考查三角形的边长的求法，考查三角形面积、正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系式、向量的数量积公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．