Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为矩形，且PA=AD=1，AB=2，∠PAB=120°，∠PBC=90°
（Ⅰ）平面PAD与平面PAB是否垂直？并说明理由；
（Ⅱ）求直线PC与平面ABCD所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（I）由ABCD为矩形，∠PBC=90°可证DA⊥平面PAB，再利用面面垂直的判定定理即可证得平面PAD⊥平面PAB；
（II）过点P作平面ABCD的垂线，垂足为H，连接CH，可证得∠PCH为PC与底面ABCD所成的角，在直角三角形PAH，直角三角形BCH，直角三角形PCH中分别求得PH，CH，PC的长，即可求得直线PC与平面ABCD所成角的正弦值为

6

8

．

解答：解：（Ⅰ）平面PAD⊥平面PAB
∵∠PBC=90°∴BC⊥PB
∵四棱锥P-ABCD的底面ABCD为矩形∴BC⊥AB
∵PB?平面PAB，AB?平面PAB，且PB∩AB=B
∴BC⊥平面PAB
∵AD∥BC
∴AD⊥平面PAB
∵AD?平面PAD
∴平面PAD⊥平面PAB．
（Ⅱ）如图，过点P作BA延长线的垂线PH，垂足为H，连接CH．
由（Ⅰ）可知AD⊥平面PAB
∵AD?平面ABCD
∴平面PAB⊥平面ABCD
∵PH?平面PAB，平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB
∴PH⊥平面ABCD
∴CH为PC在平面ABCD内的射影．
∴∠PCH为PC与底面ABCD所成的角．
∵∠PAB=120°
∴∠PAH=60°
∵PA=1
∴在直角三角形PAH中，PH=PA×sin60°=

3

2

，AH=PA×cos60°=

1

2

在直角三角形HBC中，BH=AH+AB=

1

2

+2=

5

2

，BC=AD=1
故CH=

BH2+BC2

=

29

2

在直角三角形PHC中，PC=

PH2+CH2

=2

2

∴sin∠PCH=

PH

PC

=

6

8

故直线PC与平面ABCD所成角的正弦值为

6

8

点评：本题主要考查了两个平面垂直的判定定理、性质定理及直线与平面所成的角概念和求法，培养了空间想象能力及问题的等价转换的能力．